Question

反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限的分支上有一點A（3，4），P為x軸上的一個動點，
（1）求反比例函數(shù)解析式．
（2）當P在什么位置時，△OPA為等腰三角形，求出此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把A（3，4）代入y=可得到k的值，從而確定反比例函數(shù)解析式；
（2）先計算出OA=5，然后分類：當OA=OP，易得P₁的坐標為（-5，0），P₂的坐標為（5，0）；當AO=AP，易得P₃的坐標為（6，0）；當PA=PO，作OA的中垂線交OA于C，交x軸于P₄，則OC=，易證Rt△OCP₄∽Rt△ODA，則OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，得到OP₄=，則P₄（，0）．
解答：解：（1）把A（3，4）代入y=得，4=，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）如圖：
∵A（3，4），
∴OA==5，
當OA=OP，
以O為圓心，OA為半徑畫弧交x軸于P₁、P₂，如圖，
∴P₁的坐標為（-5，0），P₂的坐標為（5，0），
當AO=AP，點P₃與點O關于AD對稱，
∴P₃的坐標為（6，0）；
當PA=PO，
作OA的中垂線交OA于C，交x軸于P₄，
則OC=，
∵Rt△OCP₄∽Rt△ODA，
∴OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，
∴OP₄=，
∴P₄（，0）．
所以P在（-5，0）、（5，0）、（，0）、（6，0）時，△OPA為等腰三角形．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)y=圖象上的點的橫縱坐標的積都等于k；利用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段之間的關系，從而確定某些點的坐標；運用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的思想確定等腰三角形．