Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析; （2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn).

（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

試題解析：（1）如圖,連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC. ∴∠DAC=∠OCA.

∴OC∥AD.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC是⊙O的半徑，∴DC為⊙O的切線.

（2）如圖,連接BC，則∠ACB=90°,

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.

∴.∴AC²=AD•AB.

∵⊙O的半徑為3，AD=4，∴AB=6.

∴。.

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì);2.平行的判定和性質(zhì);3.切線判定;4.圓周角定理;5.相似三角形的判定和性質(zhì).