Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）求證：BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，則BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明；

（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由；

（4）根據(jù)以上的討論，請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表述BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE=CE+DE，

∴BD=DE+CE

（2）

證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE=CE+BD，

∴DE=BD+CE

（3）

證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE=BD+CE，

∴DE=BD+CE

（4）

證明：BD與CE的和等于DE或BD等于DE與CE的和

【解析】（1）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可證得；（2）（3）圖形變換了，但是（1）中的全等關(guān)系并沒(méi)有改變，因而B(niǎo)D與DE、CE的關(guān)系并沒(méi)有改變；（4）把BD與DE、CE的關(guān)系用語(yǔ)言表述出來(lái)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．