Question

（2004•鄭州）如圖，在△ABC中，AD、CE是兩條高，連接DE．如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何輔助線和字母的條件下，寫出三個正確的結論（要求：分別為邊的關系、角的關系、三角形相似等），并對其中一個結論給予證明．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，所以AC=AB=5，∠ACB=∠B；因為AD、CE是兩條高，所以∠AEC=∠ADC=90°，即點A、C、D、E是在以AC為直徑的圓上，根據圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的外角等于它的內對角知，有∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，得△BED∽△BCA．
解答：解：有AC=AB=5，∠CAB=∠B，△BED∽△BCA．
證明：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，
∴AC=AB=5，∠ACB=∠B．
又∵AD、CE是兩條高，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴點A、C、D、E是在以AC為直徑的圓上，
∴∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，
∴△BED∽△BCA．
點評：本題的答案不唯一．利用了等邊對等角，四點共圓的判定，圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質求解．