Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)：　 　；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值，求出這個(gè)最大值；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) （-3，4）；(2) P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；（3）存在，或.

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．

（2）PA=t，OE=m，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可．

（3）分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．

解：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式
可得：

解得：b=1，
故二次函數(shù)的解析式為：,

可得B點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），
故AB長(zhǎng)度為：4，
根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，AD=AB=4，
故點(diǎn)D坐標(biāo)為（-3，4）；

（2）設(shè)PA=t，OE=m，

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE，

∴．

∴．

∴當(dāng)t=時(shí)，m有最大值，即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為．

（3）存在．

①點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）．

由△PAD∽△OEG得OE=PA=1．∴OP=OA+PA=4．

∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO=AD：OE=4：1．

∴．

∴重疊部分的面積=S△PAG．

②當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），

仿①步驟，此時(shí)重疊部分的面積為．