Question

如圖1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于點(diǎn)D．
（1）若正方形ABOC的邊長為2，對角線BC與OA相交于點(diǎn)E．則：
①BC的長為______；②DE的長為______；③根據(jù)已知及求得的線段OB、BC、DE的長，請找出它們的數(shù)量關(guān)系？
（2）如圖2，當(dāng)直角∠BAC繞著其頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)時，角的兩邊分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)C₁和B₁，連接B₁C₁交OA于P．B₁D平分∠OB₁C₁，交OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥B₁C₁，垂足為E，請猜想線段OB、B₁C₁、DE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)B₁E=6，C₁E=4時，求直線B₁D的解析式．

Answer 1

解：（1）①；
②；
③線段OB、BC、DE的長的關(guān)系為
注：只要符合三條線段長度關(guān)系的式子都對．

（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關(guān)系為．
證明如下：過點(diǎn)D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=B₁C₁
∴OD=DF=DE且AO=OB，
∴AD+OD=OB，
∴B₁C₁+DE=OB，
∴OB=B₁C₁+DE．

（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5，
∴AB=OB==7，
∴DE=2．
∴D的坐標(biāo)為（2，2），B₁的坐標(biāo)為（0，8），
∴直線B₁D的解析式y(tǒng)=-3x+8．
分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得對角線BC的長；②BD平分∠OBC，經(jīng)計算可知△ABD為等腰三角形，所以可知道AD長度，即可求得DE長度；③經(jīng)計算可知線段OB、BC、DE的長的關(guān)系為；
（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關(guān)系為，利用相似三角形即可證明；
（3）根據(jù)（2）中條件求出點(diǎn)D和點(diǎn)的B₁坐標(biāo)，代入即可求出直線B₁D的解析式．
點(diǎn)評：本題主要考查對于一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的掌握．