Question

如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OC=4，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖（1）中，P為直徑BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且S△PAC=4

3

，求證：PC為⊙O的切線；
（3）如圖（2），一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,動(dòng)點(diǎn)型,分類(lèi)討論

分析：（1）根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時(shí)是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形，則∠AOC=60°；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出CD的長(zhǎng)，再利用三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠PCA=30°，進(jìn)而得出答案；
（3）如圖，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的位置有3種．
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁．
②過(guò)點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，
③過(guò)點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，
求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧AM的長(zhǎng)．

解答：（1）解：∵AB為⊙O的直徑，AC為弦，OC=4，
∴CO=AO=4，
又∵∠OAC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC的度數(shù)為60°；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AO于點(diǎn)D，
∵△AOC是等邊三角形，CD⊥AO，
∴AD=DO=2，
∴CD=

AC2-AD2

=

42-22

=2

3

，
∵S△PAC=4

3

，
∴

1

2

PA×CD=4

3

，
∴PA=4，
∴PA=AC，
∴∠P=∠PCA=30°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=30°+60°=90°，
∴PC為⊙O的切線；

（3）解：如圖，
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴

AM1

=

4π

180

×60=

4π

3

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₁時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為

4

3

π．

②過(guò)點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴

AM2

=×2=

8

3

π或

AM2

=

4π×120

180

=

8π

3

，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₂時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為

8

3

π．

③過(guò)點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴

AM3

=

8π

3

×2=

16

3

π或

AM3

=

4π×240

180

=

16

3

π，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₃時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為

16

3

π．
綜上所述：動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：

4

3

π或

8

3

π或

16

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，同底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．