Question

如圖，△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且∠CBF=∠CAB．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=4，sin∠CBF=，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：設(shè)∠CBF=α，∠BAC=2α，BF是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ABC=90°-α，
∴∠ACB=180°-2α-90°+α=90°-α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：連接AE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∵BF是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠CBF=∠BAE，
即sin∠BAE=sin∠CBF=，
∵在△ABE中，sin∠BAE=，
∴BE=AB×sin∠BAE=4×=
∴BC=2BE=2．
分析：（1）設(shè)∠CBF=α，∠BAC=2α，根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)求出∠ABC=90°-α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB，推出∠ABC=∠ACB即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BE=CE，∠BAE=∠CAE，推出∠CBF=∠BAE，在△ABE中，根據(jù)sin∠BAE=，求出BE即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)性質(zhì)，解直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．