Question

已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，若△PAB與△ABC全等，那么PC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：分類討論

分析：利用勾股定理列式求出AB，然后分①點(diǎn)P與點(diǎn)C在AB的兩側(cè)時(shí)，AP與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，四邊形ACBP是矩形，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；AP與AC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知AB⊥PC，再利用三角形的面積列式計(jì)算即可得解；②點(diǎn)P與點(diǎn)C在AB的同側(cè)時(shí)，利用勾股定理求出BD，再根據(jù)PC=AB-2BD計(jì)算即可得解．

解答：解：由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10cm，
①點(diǎn)P與點(diǎn)C在AB的兩側(cè)時(shí)，若AP與BC是對(duì)應(yīng)邊，則四邊形ACBP是矩形，
∴PC=AB=10cm，
若AP與AC是對(duì)應(yīng)邊，則△ABC和△ABP關(guān)于直線AB對(duì)稱，
∴AB⊥PC
設(shè)AB與PC相交于點(diǎn)D，則S_△ABC=

1

2

×10•CD=

1

2

×6×8，
解得CD=

24

5

，
∴PC=2CD=2×

24

5

=

48

5

，
②點(diǎn)P與點(diǎn)C在AB的同側(cè)時(shí)，
由勾股定理得，BD=

BC2-CD2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
∴PC=AB-2BD=10-2×

18

5

=

14

5

，
綜上所述，PC的長為10或

48

5

或

14

5

．
故答案為：10或

48

5

或

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱性，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．