Question

如圖，三個半徑為r的等圓兩兩外切，且與△ABC的三邊分別相切，求△ABC的邊長．（結果保留π）

Answer 1

分析：連接頂點與圓心，作連心線，作過切點的半徑，把問題轉化到30°的直角三角形，矩形中解決．

解答：解：如圖，連接O₁A，O₁O₂，O₂C，作O₁D⊥AC，O₂E⊥AC，垂足為D、E，
則D、E為直線AC與圓的切點，O₁O₂=DE；
因為三個圓為等圓，由切線長定理可知，AC=AB=BC，
在Rt△AO₁D中，O₁D=r，∠O₁AD=30°，
∴AD=

3

r，同理可得CE=AD=

3

r，DE=O₁O₂=2r，
∴AC=AD+DE+CE=

3

r+2r+

3

r=（2

3

+2）r；
即：△ABC的邊長為(2

3

+2)r．

點評：本題考查了直線與圓，圓與圓相切的問題，關鍵是作連心線，過切點的半徑，構造直角三角形，利用解直角三角形或者勾股定理的知識解題．