Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標原點O及A（，0），其頂點為B（m，3），C是AB中點，點E是直線OC上的一個動點 （點E與點O不重合），點D在y軸上，且EO=ED．
（1）求此拋物線及直線OC的解析式；
（2）當點E運動到拋物線上時，求BD的長；
（3）連接AD，當點E運動到何處時，△AED的面積為？請直接寫出此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)拋物線過原點和A（），得出拋物線對稱軸為x=，故可得出B點坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+）²+3，由拋物線經(jīng)過（0，0）可求出a的值，故可得出拋物線的解析式，
由C為AB的中點可得出C點坐標，進而得出直線OC的解析式；
（2）連接ED，由于點E是拋物線與直線OC的交點所以聯(lián)立二次函數(shù)與直線的解析式可求出E點坐標，過E作EF⊥y軸于F可求出OF的長，再由EO=ED可得出D點坐標，故可求出BD的長．
（3）連接DE、AE、AD，設E（x，-x），由A，D兩點坐標即可得出OA=2，OD=，由S_{四邊形AODE}=S_△AOE+S_△DOE=S_△AED+S_△AOD即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵拋物線過原點和A（），
∴拋物線對稱軸為x=．
∴B（）．
設拋物線的解析式為y=a（x+）²+3．
∵拋物線經(jīng)過（0，0），
∴0=3a+3．
∴a=-1．
∴y=-（x+）²+3，
=-x²-2x．
∵C為AB的中點，A（-2，0）、B（-，3），
∴C（-，）．
∴直線OC的解析式為y=-x；

（2）如圖1，連接ED．
∵點E為拋物線y=-x²-2x與直線y=-x的交點（點E與點O不重合）．
∴，解得或（不合題意，舍去），
∴E（-，）；
過E作EF⊥y軸于F，可得OF=，
∵OE=DE，EF⊥y軸，
∴OF=DF，
∴DO=2OF=，
∴D（0，），
∴BD==；

（3）如圖2，連接DE、AE、AD，設E（-a，a）（a＞0），
∵A（-2，0），D（0，a），
∴OA=2，OD=a，
∴S_△AED=S_△AOE+S_△DOE-S_△AOD=×2×a+×a×a-×2×a=a²-a，
∴a²-a=，
解得a=；
∴E（-，），
同理，當E在第四象限時，
E（，-）．
故E點的坐標為（-，）或（，-）．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式等知識，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．