Question

已知：如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，作直徑AC并延長(zhǎng)，交PB的延長(zhǎng)線于D，連結(jié)OP，CB．
（1）求證：OP∥CB；
（2）若PA=6，DB：DC=2：1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）證明：連結(jié)OB，如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB，加上OA=OB，則可判定OP垂直平分AB，再根據(jù)圓周角定理，由AC為直徑得到∠ABC=90°，則AB⊥BC，所以O(shè)P∥BC；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由BC∥OP得到

DB

BP

=

DC

OC

，利用比例性質(zhì)得

BD

DC

=

BP

OC

，利用PB=PA=6，DB：DC=2：1，即可計(jì)算出OC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OP∥BC；
（2）解：∵BC∥OP，
∴

DB

BP

=

DC

OC

，即

BD

DC

=

BP

OC

，
∵PB=PA=6，DB：DC=2：1，
∴

6

OC

=2，
∴OC=3，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了平行線分線段成比例定理．