(2004•廣安)如圖,直線y=-
34
x+3m
與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以AB為直徑的⊙M過原點(diǎn)O,垂直于x軸的直線MP與⊙M的下半圓交于點(diǎn)P.
(1)求點(diǎn)B關(guān)于直線MP對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo);  
(2)若直線MP的解析式是x=6,求過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;  
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)E,使∠EOP=45°?若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由直線的解析式可求出B和A點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)锳BAB為直徑,M是圓心所以M是AB中點(diǎn),又因?yàn)镸P⊥OA,利用垂徑定理可得D是AO中點(diǎn),即OD的長可求,進(jìn)而求出直線MP的解析式,從而求出點(diǎn)B關(guān)于直線MP對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由(1)可知OP=2m=6,所以可求出B,P,C三點(diǎn)的坐標(biāo),代入計(jì)算即可;
(3)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E,使∠EOP=45°,設(shè)射線OE交圓于D,利用圓周角定理求出D點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線OE的解析式,此解析式與拋物線的解析式聯(lián)立,解方程組即可.
解答:解:(1)∵直線與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B,
設(shè)y=0,則-
3
4
x+3m=0,
∴x=4m,
∴A(4m,0),
∴OA=|4m|
設(shè)x=0,則y=3m,
∴B(0,3m),
∵M(jìn)P⊥OA,
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2m,
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4m,縱坐標(biāo)于B相同,
∴C(4m,3m);

(2)直線MP的解析式是x=6,
∴2m=6,m=3,
∴A(12,0),B(0,9),C(12,9)
由勾股定理得AB=
 OB2+OB2 
=15,
即MP=
15
2
,
∴M(6,
9
2
),
∴P(6,-3)
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把B,P,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得
9=c
-3=36a+6b+c
9=144a+12b+c
,
解得
a=
1
3
b=-4
c=9

故過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=
1
3
x2-4x+9;

(3)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E,使∠EOP=45°,延長OE交圓于D,
則∠DMP=90°,
∵M(jìn)(6,
9
2
),MD=
1
2
AB=
15
2
,
∴D(
27
2
9
2

設(shè)直線OD的解析式為y=kx,把D(
27
2
9
2
)代入解得k=
1
3
,
∴y=
1
3
x,
∵E是OD與拋物線的交點(diǎn),
∴聯(lián)立解析式組成方程組為:
y=
1
3
x2-4x+9
y=
1
3
x
,
解得:
x1=
13+
61
2
y1=
13+
61
6
x2=
13-
61
2
y2=
13-
61
6
,
故存在滿足條件的點(diǎn)E,有兩個(gè)坐標(biāo)分別是(
13+
61
2
,
13+
61
6
),(
13-
61
2
,
13-
61
6
).
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識,綜合性強(qiáng),難度較大.
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2
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