Question

（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點O，求證：∠BOC=90°+∠A；
（2）請直接寫出①和②的結論，并選擇其中的一個結論證明 
①如圖2，在△ABC中，BP，CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，試探究∠BPC與∠A的關系．
②如圖3，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分線，試探究∠BEC與∠A的關系．

Answer 1

（1）證明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；

（2）∠BCP=90°-∠A．
證明：∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；

（3）2∠BEC=∠A．
證明：∵CE為∠ACB的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，兩角平分線交于點E，
∴∠1=∠2，∠ABE=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ACF中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△BEF中，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠E=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A．
分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；
（2）根據(jù)三角形外角平分線的性質可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°-∠A；
（3）根據(jù)CE為∠ABC的角平分線，BE為△ABC外角∠ABD的平分線，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），兩式聯(lián)立可得2∠BEC=∠A．
點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，涉及到三角形內(nèi)角與外角的關系，角平分線的性質，三角形內(nèi)角和定理，屬中學階段的常規(guī)題．