Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接PA，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊DC于點(diǎn)F，連接CE，AF．
（1）求證：△ABP∽△PCF；
（2）當(dāng)

BP

AB

的值等于多少時(shí)，△APF∽△PCF？請說明理由；
（3）當(dāng)CP=CE時(shí)，求cot∠EPC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件證明∠PAB=∠EPC，即可證明：△ABP∽△PCF；
（2）當(dāng)

BP

AB

=

1

2

，△APF∽△PCF，設(shè)正方形ABCD邊長為1，則AB=BC=1，PB=PC=

1

2

，F(xiàn)C=

1

4

，根據(jù)勾股定理計(jì)算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；
（3）過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)G（如圖），則∠EGP=∠B=90°，設(shè)EG=CG=x．則CP=CE=

2

x，PG=x+

2

x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°．
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°．
∴∠PAB=∠EPC．
∴△ABP∽△PCF．
（2）
當(dāng)

PB

AB

=

1

2

時(shí)，△APF∽△PCF．理由如下：
∵∠PAB=∠EPC，
∴tan∠PAB=tan∠EPC，即

PB

AB

=

FC

PC

=

1

2

．
設(shè)正方形ABCD邊長為1，則AB=BC=1，PB=PC=

1

2

，F(xiàn)C=

1

4

．
在Rt△ABP中，AP=

AB2+PB2

=

12+( 1 2 )2

=

1

2

5

．
在Rt△PCF中，F(xiàn)P=

PC2+FC2

=

( 1 2 )2+( 1 4 )2

=

1

4

5

．
∴

FP

AP

=

FC

PC

=

1

2

，
∵∠APF=∠PCF=90°，
∴△APF∽△PCF．
（3）過點(diǎn)E作EG⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)G（如圖），則∠EGP=∠B=90°．
∵∠PAB=∠EPC，PA=PE．
∴△PAB≌△EPG
∴EG=PB，AB=BC=PG，
∴PB=EG=CG，
∴∠ECG=45°．
設(shè)EG=CG=x．則CP=CE=

2

x，PG=x+

2

x．
在Rt△EPG中，cot∠EPC=

PG

EG

=

x+ 2  x

x

=1+

2

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大，對學(xué)生的解題能力要求很高．