如圖1,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=4數(shù)學(xué)公式,將矩形紙片沿對(duì)角線AC向下翻折,點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處,連接B D′,如圖2,求線段BD′的長(zhǎng).

解:設(shè)AD′交BC于O,
方法一:
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD′于E,
矩形ABCD中,
∵AD∥BC,AD=BC,
∠B=∠D=∠BAD=90°,
在Rt△ABC中,
∵tan∠BAC=,
∴∠BAC=60°,∴∠DAC=90°-∠BAC=30°,
∵將△ACD沿對(duì)角線AC向下翻折,得到△ACD′,
∴AD′=AD=BC=,∠1=∠DAC=30°,
∴∠4=∠BAC-∠1=30°,
又在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∴BE=2,
∴AE=,∴D′E=AD′-AE=,
∴AE=D′E,即BE垂直平分AD′,∴BD′=AB=4.

方法二:
矩形ABCD中,∵AD∥BC,AD=BC,∠B=∠D=90°,∴∠ACB=∠DAC,
在Rt△ABC中,∵tan∠BAC=
∴∠BAC=60°,∴∠ACB=90°-∠BAC=30°,
∵將△ACD沿對(duì)角線AC向下翻折,得到△ACD′,
∴AD=AD′=BC,∠1=∠DAC=∠ACB=30°,
∴OA=OC,
∴OD′=OB,∴∠2=∠3,
∵∠BOA=∠1+∠ACB=60°,∠2+∠3=∠BOA,
∴∠2=∠BOA=30°,
∵∠4=∠BAC-∠1=30°,
∴∠2=∠4,
∴BD′=AB=4.
分析:先設(shè)AD和BC交于點(diǎn)O,△AD′C和△ADC關(guān)于AC對(duì)稱,可得CD=CD′=AB,利用勾股定理,可求AC,那么sin∠ACB=,有∠ACB=30°,∠BAC=60°,就有∠BAO=∠D′AC=∠ACB=∠D′CB=30°,根據(jù)圖形可得△ABO≌△CD′O,可得,OB=OD′,所以∠OBD=∠OD′B,而∠AOC=∠BOD′,于是∠OBD′=∠OD′B=30°,就有∠AD′B=∠BAD′=30°,從而可得BD′=AB=4.
點(diǎn)評(píng):本題利用了折疊的圖形全等,勾股定理,反三角函數(shù),全等三角形的判定和性質(zhì).
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13、如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊,使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置,AB′與CD交于點(diǎn)E.
(1)試找出一個(gè)與△AED全等的三角形,并加以證明;
(2)若AB=8,DE=3,P為線段AC上的任意一點(diǎn),PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,試求PG+PH的值,并說(shuō)明理由.

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(2013•松北區(qū)三模)如圖,將矩形紙片ABCD折痕,使點(diǎn)D落在點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)F處.若AB=4,則邊BC的長(zhǎng)為( 。

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如圖,把矩形紙片ABCD沿折疊,使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處;
( I)求證:B′E=BF
( II)設(shè)AE=a,AB=b,BF=c,求證:a+b>c.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

17、如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處,已知AB=4,BC=8,則線段AE的長(zhǎng)度是
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觀察與發(fā)現(xiàn):
(1)小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊,使得AC落在AB邊上,折痕為AD,展開(kāi)紙片(如圖①);再次折疊該三角形紙片,使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,折痕為EF,展平紙片后得到△AEF(如圖②).你認(rèn)為△AEF是什么形狀的三角形?為什么?
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實(shí)踐與運(yùn)用:
如圖,將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊:對(duì)折、展平,得折痕EF(如圖①);沿GC折疊,使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處(如圖②);展平,得折痕GC(如圖③);沿GH折疊,使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處(如圖④);沿GC′折疊(如圖⑤);展平,得折痕GC′、GH(如圖⑥).
(2)在圖②中連接BB′,判斷△BCB′的形狀,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)圖⑥中的△GCC′是等邊三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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