Question

已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5．
求：∠APB的度數(shù)．（初二）

Answer 1

【答案】分析：先把△ABP旋轉60°得到△BCQ，連接PQ，根據(jù)旋轉性質可知△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等邊三角形，從而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，根據(jù)勾股定理逆定理易證△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，進而可求∠APB．
解答：解：把△ABP繞點B順時針旋轉60°得到△BCQ，連接PQ，
∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ=PB=4，
而PC=5，CQ=4，
在△PQC中，PQ²+QC²=PC²，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．
點評：本題考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理的逆定理、旋轉的性質，解題的關鍵是考慮把PA、PB、PC放在一個三角形中，而旋轉恰好能實現(xiàn)這一目標．