Question

（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由OD⊥AC可得，再由圓周角定理即可得證；

（2）由∠ODB=30°可得∠ABC=60°，從而得∠A=30°，可得BC=AB，又OD=AB，問(wèn)題得證.

試題解析：（1）∵OD⊥AC OD為半徑，

∴=，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°，

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC=AB，

∵OD=AB，

∴BC=OD．

考點(diǎn)：1、垂徑定理；2、圓周角定理；3、直角三角形的性質(zhì).