Question

【題目】如圖，任意四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，過各頂點(diǎn)分別作對角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個四邊形EFGH．試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會有哪些變化？完成以下題目：

(1)①當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，四邊形EFGH為___________；

②當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，四邊形EFGH為___________；

③當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，四邊形EFGH為___________；

④當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形EFGH為___________；

(2)請對(1)中①③你所寫的結(jié)論進(jìn)行證明

Answer 1

【答案】（1）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；（2）證明見解析

【解析】

（1）①根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根據(jù)平行四邊形的定義即可求出結(jié)論；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EH=AC，EF=BD，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD，然后根據(jù)菱形的定義即可求出結(jié)論；

③根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，從而證出EF⊥EH，然后根據(jù)矩形的定義即可求出結(jié)論；

④根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD，從而得出EH=EF，EF⊥EH，然后根據(jù)正方形的定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，然后根據(jù)平行四邊形的定義即可證出①；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，從而證出EF⊥EH，然后根據(jù)矩形的定義即可證出③．

解：（1）①由題意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四邊形EFGH、四邊形EACH和四邊形EFBD都為平行四邊形

故答案為：平行四邊形；

②由①知四邊形EFGH、四邊形EACH和四邊形EFBD都為平行四邊形

∴EH=AC，EF=BD

∵四邊形ABCD為矩形

∴AC=BD

∴EH=EF

∴四邊形EFGH為菱形

故答案為：菱形；

③∵四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形

故答案為：矩形；

④由①知四邊形EFGH為平行四邊形，EF∥BD，EH∥AC，四邊形ABCD為正方形

∴EH=AC，EF=BD，AC=BD，AC⊥BD

∴EH=EF，EF⊥EH

∴四邊形EFGH為正方形

故答案為：正方形；

（2）①證明如下：

由題意可知：EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC

∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

③證明如下：

∵四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD

∵EF∥BD，EH∥AC，

∴EF⊥EH

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形