Question

已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）如圖（1），CD平分∠ACB交AB于點D，BE⊥CD于點E，延長BE、CA相交于點F，請猜想線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖（2），點F在BC上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于點E，AB與FE交于點D，F(xiàn)H∥AC交AB于H，延長FH、BE相交于點G，求證：BE=

1

2

FD；
（3）如圖（3），點F在BC延長線上，∠BFE=

1

2

∠ACB，BE⊥FE于點E，F(xiàn)E交BA延長線于點D，請你直接寫出線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先利用AAS證明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，再利用ASA證明△BCE≌△FCE，從而得到BE=FE=

1

2

BF，進(jìn)而得出BE=

1

2

CD；
（2）利用“等角對等邊”證明BH=FH，再通過證明△BFE≌△GFE，得到BE=

1

2

GB，再證明△BHG≌△FHD，得到BG=FD，從而得到BE=

1

2

FD；
（3）利用相同的方法可得BF和FD的關(guān)系．

解答：解：（1）猜想：BE=

1

2

CD．
理由：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∠BDE=∠ADC，
∴∠ABF=∠ACD，∠BAF=∠BAC．
在△ABF和△ACD中，

∠BAC=∠BAF ∠ABF=∠ACD AB=AC

，
∴△ABF≌△ACD（AAS）．
∴BF=CD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCE=∠FCE．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠FEC=90°．
在△BCE和△FCE中，

∠BEC=∠FEC EC=EC ∠BCE=∠FCE

，
∴△BCE≌△FCE（ASA）．
∴BE=FE=

1

2

BF．
∴BE=

1

2

CD．
（2）證明：∵AB=AC，F(xiàn)H∥AC
∴∠ABC=∠ACB，∠BFH=∠ACB．
∴∠BHF=∠BAC=90°．∠ABC=∠BFH．
∴BH=FH．
∵∠BFE=

1

2

∠ACB，
∴∠EFG=

1

2

∠ACB．
∴∠BFE=∠EFG．
∵BE⊥FE，
∴∠BEF=∠GEF．
在△BFE和△GFE中，

∠BEF=∠GEF EF=EF ∠BFE=∠EFG

，
∴△BFE≌△GFE（ASA）．
∴BE=GE．
∴BE=

1

2

GB．
在△BHG和△FHD中，

∠BHG=∠BHF=90° BH=FH ∠GBH=DFH

，
∴△BHG≌△FHD（ASA）．
∴BG=FD，
∴BE=

1

2

FD．
（3）BE=

1

2

FD．
證明：過點F作GF∥AC，交BE，AD延長線于點G，H
∴∠BFG=∠ACB
∵∠BFE=

1

2

∠ACB
∴∠BFE=∠GFE
在△FBE和△FBG中

∠GEF=∠GFE=90° EF=EF ∠EFB=∠EFG

∴△FBE≌△FBG（ASA）
∴∠EFB=∠EFG
BE=EG=

1

2

BG
∵FG∥AC
∴∠BAC=∠BHF=90°
在四邊形GEDH中
∠G+∠EDG=180°
又∵∠HDF+∠EDH=180°
∴∠HDF=∠G
在△DHF和△GHB中

∠HDF=∠G ∠BAC=∠BHF BG=GF

∴△DHF≌△GHB（AAS）
∴BG=DF
∴BE=

1

2

FD．

點評：本題考查了全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵通過證明三角形全等尋找線段之間的關(guān)系，另外在遇到證明或探究線段之間的關(guān)系時，往往考慮等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理等有關(guān)線段倍分的定理．