Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BA延長線上的一點(diǎn)，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若∠B=45°，AB=8

2

，AD=

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）作直徑CE，連接AE；先證明∠ACB=∠E，再證∠ACB+∠ACE=90°，即∠BCE=90°，即可證出BC為⊙O的切線；
（2）作AF⊥BC于F，先求出BC、AF、CF、AC的長，再運(yùn)用銳角三角函數(shù)求出CE，即可得出半徑OC．

解答：解：（1）證明：作直徑CE，連接AE；如圖所示：
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠D=∠ACB，∠D=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即∠BCE=90°，
∴BC為⊙O的切線；
（2）作AF⊥BC于F，如圖所示：
則∠AFB，=∠AFC=90°，
∵∠B=45°，
∴AF=BF=AB•sin45°=8

2

×

2

2

=8，
∵BC為⊙O的切線，BD=8

2

+

2

=9

2

，
根據(jù)切割線定理得：BC²=AB•BD=8

2

•9

2

=144，
∴BC=12，
∴CF=BC-BF=4，
∴AC=

82+42

=4

5

，
∴tan∠E=

AC

CE

=tan∠ACB=

AF

CF

=

8

4

=2，
∴CE=

1

2

AC=2

5

，
∴CE²=AE²+AC²=(2

5

)2+(4

5

)2=100，
∴CE=10，
∴OC=5，
即⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、切割線定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)；主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．