Question

如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面積之比是3：1：4，點(diǎn)E在邊AD上，CE交BD于G，設(shè)

BG

GD

=

DE

EA

=k．
（1）求

3	7k2+20

的值；
（2）若點(diǎn)H分線段BE成

BH

HE

=2的兩段，且AH²+BH²+DH²=p²，試用含p的代數(shù)式表示△ABD三邊長的平方和．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)△ABC、△BCD、△ACD的面積分別為3、1、4．根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底的比，分別用k表示相關(guān)一些三角形的面積，從而得到關(guān)于k的方程，進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，知E、G分別為AD、BD的中點(diǎn)，結(jié)合已知，得點(diǎn)H是△ABD的重心．延長BE到K，使得BE=EK，連接AK、DK，構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和重心的性質(zhì)進(jìn)行分析求解．

解答：略解：（1）不妨設(shè)△ABC、△BCD、△ACD的面積分別為3、1、4．
∵

BG

GD

=

DE

EA

=k，
∴△ABD的面積是6，△BDE的面積是

6k

k+1

．
∴△CDG的面積是

1

k+1

，△CDE的面積為

4k

k+1

，△DEG的面積是

6k

(k+1)2

．
由此可得：

1

k+1

+

6k

(k+1)2

=

4k

k+1

，
即4k²-3k-1=0，
∴k=1．
∴

3	7k2+20

=3．

（2）由（1）知：E、G分別為AD、BD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)H分線段BE成

BH

HE

=2的兩段，
∴點(diǎn)H是△ABD的重心．
而當(dāng)延長BE到K，使得BE=EK，連接AK、DK后便得到平行四邊形ABDK，再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對角線的平方和”就可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，類似地有

2(BD2+AD2)=AB2+4DM2 2(AB2+AD2)=BD2+4AG2

，其中點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵AH=

2

3

AG，BH=

2

3

BE，DH=

2

3

DM，AH²+BH²+DH²=p²，
∴BE2+DM2+AG2=

9

4

p2，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心的性質(zhì)．