Question

如圖：已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙O₁上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)C，PA交⊙O₂于點(diǎn)D，CD的延長(zhǎng)線交⊙O₁于點(diǎn)N．
（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥CN交⊙O₁于點(diǎn)E，求證：PA=PE；
（2）連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理的推論，得到∠PAE=∠ADC=∠ABC；
再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠ABC=∠E，從而得到∠PAE=∠E，進(jìn)一步得到PA=PE；
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，易證明△PDN∽△PNA，得到PN²=PD•PA，再結(jié)合割線定理進(jìn)一步求解．

解答：（1）證明：連接AB．
∵四邊形AEPB是⊙O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O₂中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E．
又∵AE∥CN，
∴∠ADC=∠PAE．
故∠PAE=∠E．
∴PA=PE．

（2）解：連接AN、PN．
∵四邊形ANPB是⊙O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN²=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN=

PB•PC

=

4×(4+2)

=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：連接公共弦，是相交兩圓常見(jiàn)的輔助線之一．綜合運(yùn)用圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定．