Question

若關于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍是________．

Answer 1

a≤0，且a≠-2．
分析：分類討論：（1）當x≥3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0，△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，∴a+2≠0，即a≠-2，并且求出方程的解都要大于或等于3，再得到a≤0，此時實數a的取值范圍是a≤0，且a≠-2，（2）當x＜3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0，用同樣的方法求出a的取值范圍；最后綜合得到實數a的取值范圍．
解答：當x≥3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0，
∵方程有兩個不同的實數根，
∴△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此時方程的根為x==，
則x₁=5，x₂=3-a．而x≥3，所以有3-a≥3，即a≤0，
此時實數a的取值范圍是a≤0，且a≠-2．
當x＜3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0，
∵方程有兩個不同的實數根，
∴△＞0，即△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此時方程的根為x==，
則x₁=1，x₂=3+a．而x＜3，所以有3+a＜3，即a＜0．
實數a的取值范圍是a＜0且a≠-2．
綜上所述，實數a的取值范圍是a≤0，且a≠-2．
故答案為a≤0，且a≠-2．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根．同時考查了分類討論的思想方法的運用．