Question

在矩形ABCD中（AB＞CD），E為線段AD上的一個動點（E不與A、D兩點重合），連接EC，過E點作EF⊥EC交AB于F，連接FC
（1）求證：AF•DC=AE•ED；
（2）E點運動到什么位置時，EF平分∠AFC，證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
∴，
∴AF•DC=AE•ED；
（2）E是AD的中點時，AE平分∠AFC，理由如下：
∵EF平分∠AFC，
∴∠AFE=∠EFC，
∴tan∠CFE=，
同理可得，tan∠AFE=，
∴，
又∵△AEF∽△DCE，
∴，
∴，
∴AE=DE，
∴E是AD的中點時，AE平分∠AFC．
分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE，利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可得到比例式：，進而證明AF•DC=AE•ED；
（2）由AE平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么兩角在各自直角三角形里的正切值相等，可得，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例線段：，兩式聯(lián)合可得：，就有AE=DE，即E是AD中點時，EF平分∠AFC．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用．