Question

如圖，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點A落在OB邊上，記為A′，折痕為EF．
（1）當A′E∥x軸時，求點A'的坐標和直線A′F所對應的函數(shù)關系式；
（2）在OB上是否存在點A′，使四邊形AFA′E是菱形？若存在，請求出此時點A′的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點A′在OB上運動但不與點O、B重合，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標；若不能，請你說明理由．

Answer 1

解：（1）設過點A′、F的直線為y=ax+b（a≠0）．
∵△OAB是等邊三角形，
∴由已知可得∠A′OE=60°；
又∵將△OAB折疊，使點A落在OB邊上，記為A′，折痕為EF，
∴A′E=AE，∠FA′E=∠A=60°；
∵A′E∥x，
∴A′E⊥OB，
∴tan∠FA′E=；
故設直線A′F的解析式為y=x+b，A′的坐標為（0，t）；
∵AE=A′E=t，OE=2t，
∴t+2t=2+，
解得，t=1，
∴點A′的坐標為（0，1）；
∴1=×0+b，
解得，b=1，
∴直線A′F的解析式為y=x+1；

（2）在OB上存在點A′，使四邊形AFA′E是菱形；理由如下：
∵△OAB是等邊三角形，
∠BOA=∠A=∠OBA=60°；
又∵四邊形AFA′E是菱形，
∴A′F∥A′E，
∴∠BA′F=∠BOA=60°（兩直線平行，同位角相等），
∴△BA′F是等邊三角形，
∴BA′=A′F；
易證△A′OE為等邊三角形，
∴OA′=A′E；
∵A′F=A′E（菱形的鄰邊相等），
∴A′B=OA′（等量代換），
∴A′（0，1+）；

（3）不可能使△A′EF成為直角三角形．
理由如下：
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，
A、E、A三點共線，O與A重合，與已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成為直角三角形．
分析：（1）△OAB是邊長為的等邊三角形，則∠A′OE=60°，又A′E∥x軸，則∠OA′E=90°，所以，A′E=OA′，OE=2OA′，根據(jù)折疊的性質可知，AE=A′E，所以，A′E+OE=2+，即OA′+2OA′=2+，可得OA′=1，即可知點A'的坐標；根據(jù)折疊的性質與直線y=kx+b中k的幾何意義，利用待定系數(shù)法可以求得直線A′F的關系式；
（2）在OB上存在點A′，使四邊形AFA′E是菱形；利用等邊△OAB的性質、菱形的對角相等的性質證得△BA′F、△A′OE為等邊三角形；然后根據(jù)等邊三角形的性質與菱形的對邊平行與鄰邊相等的性質可以證得點A′是OB的中點，從而求得點A′的坐標；
（3）根據(jù)折疊的性質可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：
①∠A′EF=90°，根據(jù)折疊的性質，∠A′EF=∠AEF=90°，此時A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．
因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質、菱形的性質等知識點，綜合性比較強．