Question

在m（m≥2）個不同數的排列P₁P₂P₃…P_m中，若1≤i＜j≤m時，P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數為a_n，如排列21的逆序數a₁=1，排列4321的逆序數a₃=6．
（1）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式（用n表示，不要求證明）；
（2）令b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，求b₁+b₂+…b_n并證明b₁+b₂+…b_n＜3，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（1）由排列21的逆序數a₁=1，排列4321的逆序數a₃=6得，a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，找出規(guī)律得到a_n即可；
（2）要證明b₁+b₂+…b_n＜3，關鍵要根據（1）的結論及bn=

an

an+1

+

an+1

an

-2，將b_n表達出來，并利用數列求和的方法解決問題．

解答：解：（1）由排列21的逆序數a₁=1，排列4321的逆序數a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，
∴a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

；

（2）∵a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

，b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，
∴b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2=

n

n+2

+

n+2

n

-2=

2

n

-

2

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=3-

2

n+1

-

2

n+2

；
又∵n=1，2，…，
∴b₁+b₂+…b_n=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3．

點評：本題考查了排列與組合的問題，需要我們歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），難度較大．