Question

如圖，點E是△ABC的兩條角平分線的交點．
（1）若∠A=80°，求∠BEC的度數；
（2）若∠BEC=130°，求∠A的度數；
（3）∠BEC能是直角嗎？能是銳角嗎？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=80°（已知），
∴∠ABC+ACB=180°-80°=100°（三角形內角和定理），
∵BD，CF是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+ACB）=50°，
∴∠BEC=180°-50°=130°（三角形內角和定理）；

（2）∵∠BEC=130°，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+ACB）=180°-130°=50°（三角形內角和定理），
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠A=180°-100°=80°（三角形內角和定理）；

（3）∠BEC不能是直角，也不能是銳角．理由：
∵∠BEC+（∠ABC+∠ACB）=180°，∠ABC+∠ACB＜180°，
∴180°-∠BEC＜90°，
∴∠BEC＞90°．
故∠BEC既不能是直角，也不能是銳角．
分析：（1）根據三角形的內角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度數，利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB的度數，再根據三角形內角和定理即可求出∠BEC的度數；
（2）與（1）的求解過程相反，根據三角形內角和定理先求出去∠ABC與∠ACB的度數的一半等于50°，再根據三角形的內角和定理即可求出∠A等于180°-2×50°；
（3）根據三角形的內角和定理∠ABC+∠ACB＜180°，又∠BEC+（∠ABC+∠ACB）=180°，代入求解即可得到∠BEC大于90°．
點評：本題主要考查三角形的內角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關鍵．