Question

（2012•廈門）已知點A（1，c）和點B（3，d）是直線y=k₁x+b與雙曲線y=

k2

x

（k₂＞0）的交點．
（1）過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM．若AM=BM，求點B的坐標．
（2）若點P在線段AB上，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線y=

k2

x

（k₂＞0）于點N．當

PN

NE

取最大值時，有PN=

1

2

，求此時雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）過B作BN⊥x軸，由點A（1，c）和點B（3，d）都在雙曲線y=

k2

x

（k₂＞0）上，得到即c=3d，則A點坐標為（1，3d），根據勾股定理計算出MB=

22+d2

，然后利用AM=BM得到（3d）²=2²+d²，求出d的值，即可確定B點坐標；
（2）由B（3，d）可得到反比例函數的解析式為y=

3d

x

，然后利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-dx+4d，則可設P（t，-dt+4d），則N（t，

3d

t

），表示出PN=-dt+4d-

3d

t

，NE=

3d

t

，再計算

PN

NE

=

-dt+4d- 3d t

3d t

=-

1

3

t²+

4

3

t-1，配方得-

1

3

（t-2）²+

1

3

，由于

PN

NE

取最大值，所以t=2，此時PN=-dt+4d-

3d

t

=

1

2

，解方程得到d的值，即可確定雙曲線的解析式．

解答：解：（1）如圖，過B作BN⊥x軸，
∵點A（1，c）和點B（3，d）都在雙曲線y=

k2

x

（k₂＞0）上，
∴1×c=3×d，即c=3d，
∴A點坐標為（1，3d），
∴AM=3d，
∵MN=3-1=2，BN=d，
∴MB=

22+d2

，
而AM=BM，
∴（3d）²=2²+d²，
∴d=

2

2

，
∴B點坐標為（3，

2

2

）；

（2）如圖，把B（3，d）代入y=

k2

x

得k₂=3d，
∴反比例函數的解析式為y=

3d

x

，
把A（1，3d）、B（3，d）代入y=k₁x+b得，

k1+b=3d 3k1 +b=d

，解得

k1=-d b=4d

，
∴直線AB的解析式為y=-dx+4d，
設P（t，-dt+4d），則N（t，

3d

t

），
∴PN=-dt+4d-

3d

t

，NE=

3d

t

，
∴

PN

NE

=

-dt+4d- 3d t

3d t

=-

1

3

t²+

4

3

t-1=-

1

3

（t-2）²+

1

3

，
當

PN

NE

取最大值時，t=2，
此時PN=-dt+4d-

3d

t

=

1

2

，
∴-2d+4d-

3d

2

=

1

2

，
∴d=1，
∴反比例函數的解析式為y=

3

x

．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式；運用待定系數法求函數的解析式；利用配方法討論確定最值問題以及勾股定理計算有關線段的長度．