Question

已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，連接DF、CF．
（1）如圖1，當(dāng)點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；
（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°時，請你判斷此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；
（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°時，若AD=1，AC=，求此時線段CF的長（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，
∴DF=BE，CF=BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
證明：如圖，此時點D落在AC上，延長DF交BC于點G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F為BE中點，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，
∴AD=GB，
∵AC=BC，
∴AC-AD=BC-GB，
∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF=GF．
∴DF=CF，DF⊥CF．
（3）延長DF交BA于點H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵由旋轉(zhuǎn)可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中點，
∴EF=BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴ED=HB，
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得
DH=，
∴DF=，
∴CF=
∴線段CF的長為．

分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．
（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
點評：主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的運用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．