Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠A=30°，點E在AC上，∠AOE=60°且OE=1．
（1）求劣弧線AC的長．
（2）若∠ABD=120°，BD=1，求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）∵∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠AEO=180°-∠A-∠AOE=90°，
即OE⊥AC，
∴AE=AC，
∵OE=1，
∴OA=2OE=2，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧線AC的長為：=π；

（2）連接BC，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=60°，OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，BC=OB=2，
∵∠ABD=120°，
∴∠DBC=∠CBD=60°，
∵BC=OB=2，AB=2OA=4，BD=1，
∴，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
分析：（1）由∠A=30°，∠AOE=60°，即可得OE⊥AC，由垂徑定理與勾股定理，即可求得半徑OA的長，然后利用弧長公式求得劣弧線AC的長；
（2）首先連接BC，可得△OBC是等邊三角形，繼而可得∠ABC=∠CBD=60°，，即可判定△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可求得∠BCD的度數(shù)，繼而可得OC⊥CD，則可證得CD是⊙O的切線．
點評：此題考查了圓的切線的判定、弧長公式、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．