Question

【題目】如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E，切點為F，連接AF交CD于點N．

（1）求證：CA=CN；

（2）連接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圓O的直徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OF，根據切線的性質結合四邊形內角和為360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角結合平行線的性質即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通過互余利用角的計算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可證出CA=CN；

（2）連接OC，由圓周角定理結合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的長度，設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，根據勾股定理即可得出關于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圓O直徑的長度．

試題解析：（1）證明：連接OF，則∠OAF=∠OFA，如圖所示．

∵ME與⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．

∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．

∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．

∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．

（2）連接OC，如圖2所示．

∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．設CH=4a，則AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN= = = a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．

設圓的半徑為r，則OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圓O的直徑的長度為2r=．