Question

在△ABC中，∠A=40°
（1）如圖1，若兩內角∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是______．為什么有這樣的關系？請證明它；
（2）如圖2，若內角∠ABC、外角∠ACE的角平分線交于點P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是______；
（3）如圖3，若兩外角∠EBC、∠FCB的角平分線交于點P，則∠P=______，∠A與∠P之間的數(shù)量關系是______．

Answer 1

解：（1）∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∴（∠ABC+∠C）=×140°=70°，
∴∠P=180°-（∠ABC+∠C）=110°．
∠A與∠P之間的數(shù)量關系是∠P=90°+∠A；

（2）∵∠ACE=∠ABC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠P，
∴（40°+∠ABC）=∠ABC+∠P，
∴∠P=20°．
∠A與∠P之間的數(shù)量關系是∠P=∠A；

（3）∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=90°+∠A．
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴90°+∠A+∠P=180°，即∠P=90°-∠A．
分析：（1）根據三角形內角和定理求出∠B和∠C，再根據角平分線的性質和三角形內角和是180°求出∠P=180°-（∠B+∠C）；（2）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和以及叫平分線的性質可求出∠P，可得∠A與∠P之間的數(shù)量關系；
（3）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求得：∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCP中根據角平分線的定義以及三角形內角和定理即可求解．
點評：①幾何計算題中，如果依據題設和相關的幾何圖形的性質列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；
③三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．