Question

如圖，等邊△ABC中，D、E分別為AB、BC邊的延長線上的點，且BD=CE，DC的延長線交AE于點F，AG⊥CD于點G．
（1）求證：△ACE≌△CBD；
（2）若AF=，試求FG的長．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠DBC=180°-60°=120°，
同理∠ECA=120°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴△DBC≌△ECA（SAS），
即△ACE≌△CBD；

（2）解：由（1）知△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，∠D=∠E，
∵∠ABC=∠D+∠BCD=60°，
∴∠E+∠BCD=60°，
又∵∠AFC=∠E+∠ECF，∠ECF=∠BCD，
∴∠AFC=∠E+∠BCD=60°，
∵AG⊥DC，
∴∠GAF=30°，
∵AF=，
∴AF=3，
在Rt△AGF中，GF=AF=×3=．
分析：（1）由△ABC是等邊三角形易得∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，利用三角形外角性質(zhì)，可求∠DBC=∠ECA=120°，從而利用SAS可證△ACE≌△CBD；
（2）由（1）中三角形全等可得∠CAE=∠BCD，∠D=∠E，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，易求∠AFC=60°，進而可求∠GAF=30°，利用直角三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半，可求GF．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)、二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是證明△ACE≌△CBD，并求出∠GAF．