Question

已知直線y=

1

2

x和y=-x+m，二次函數(shù)y=x²+px+q圖象的頂點為M．
（1）若M恰在直線y=

1

2

x與y=-x+m的交點處，試證明：無論m取何實數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個不同的交點；
（2）在（1）的條件下，若直線y=-x+m過點D（0，-3），求二次函數(shù)y=x²+px+q的表達式；
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與y軸交于點C，與x軸的左交點為A，試在拋物線的對稱軸上求點P，使得△PAC為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）已知直線y=

1

2

x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量關(guān)系式即可求出點M的坐標．把M點坐標代入二次函數(shù)，求出△＞0．故無論m為何實數(shù)值，二次函數(shù)與直線總有兩個不同的交點．
（2）已知直線y=-x+m過點D，求出M的坐標．
（3）二次函數(shù)與y軸交點為C，與x軸的左交點為點A．分情況解出P點坐標．

解答：解：（1）由

y= 1 2 x y=-x+m

得

x= 2 3 m y= 1 3 m

即交點M坐標為（

2

3

m，

1

3

m）（1分）
此時二次函數(shù)為y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m=x2-

4

3

mx+

4

9

m2+

1

3

m③
由②，③聯(lián)立，消去y，有x2-(

4

3

m-1)x+

4

9

m2-

2

3

m=0（2分）
△=[-(

4

3

m-1)]2-4(

4

9

m2-

2

3

m)
=

16

9

m2-

8

3

m+1-

16

9

m2+

8

3

m
=1＞0（3分）
∴無論m為何實數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個不同的交點．（4分）

（2）∵直線y=-x+m過點D（0，-3），
∴-3=0+m
∴m=-3
∴M點坐標為（-2，-1）（5分）
∴二次函數(shù)為y=（x+2）²-1=x²+4x+3（6分）

（3）二次函數(shù)y=x²+4x+3與y軸交點C為（0，3），與x軸的左交點A為（-3，0）（7分）
①當P₁A=P₁C時，可得P₁坐標為（-2，2）（8分）
②當AP₂=AC時，可得P₂坐標為（-2，

17

）或（-2，-

17

）（9分）
③當CP₃=AC時，可得P₃坐標為（-2，

14

+3）或（-2，3-

14

）（10分）
綜上得，當P為（-2，2），（-2，

17

），（-2，-

17

），（-2，

14

+3），
（-2，3-

14

）時，△PAC為等腰三角形．（10分）

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用以及等腰三角形的性質(zhì)，難度較大．