Question

已知二次函數(shù)y=(t+1)x2+2(t+2)x+

3

2

在x=0和x=2時的函數(shù)值相等
（1）求二次函數(shù)的解析式，并作圖象；
（2）若一次函數(shù)y=kx+6的圖象與二次函數(shù)的象都經(jīng)過點A（-3，m），求m和k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件知，該函數(shù)的對稱軸方程為x=1，則-

2(t+2)

2(t+1)

=1，據(jù)此易求t的值，把t的值代入函數(shù)解析式即可；根據(jù)圖象與坐標軸的交點坐標，頂點坐標畫出圖象；
（2）把點A的坐標代入二次函數(shù)解析式，利用方程可以求得m的值；然后把點A的坐標代入一次函數(shù)解析式，也是利用方程來求k的值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=(t+1)x2+2(t+2)x+

3

2

在x=0和x=2時的函數(shù)值相等，
∴對稱軸x=-

2(t+2)

2(t+1)

=

0+2

2

=1，即-

2(t+2)

2(t+1)

=1，
解得，t=-

3

2

，
則二次函數(shù)的解析式為：y=（-

3

2

+1）x²+2（-

3

2

+2）x+

3

2

，即y=-

1

2

（x+1）（x-3）或y=-

1

2

（x-1）²+2，
∴該函數(shù)圖象的開口方向向下，且經(jīng)過點（-1，0），（3，0），（0，

3

2

），頂點坐標是（1，2）．其圖象如圖所示：
；

（2）∵二次函數(shù)的象經(jīng)過點A（-3，m），
∴m=-

1

2

（-3+1）（-3-3）=-6．
又∵一次函數(shù)y=kx+6的圖象經(jīng)過點A（-3，m），
∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，
解得，k=4．
綜上所述，m和k的值分別是-6、4．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．求得二次函數(shù)的解析式時，利用了二次函數(shù)圖象的對稱性質(zhì)．