Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊始終經過點C，另一直角邊與AB交于點E．
（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程；
（2）當∠PCD=30°時，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點P，使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在，求DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相應的數據即可求得答案；
（3）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=11-x，由△CDP∽△PAE知，解得x=8，此時AP=3，AE=4．
解答：（1）△CDP∽△PAE．（1分）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=，（7分）
∴，（8分）
∴，（9分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：，
∴，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴；（10分）

（3）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
根據△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2，
∴即，（11分）
解得x=8，
此時AP=3，AE=4．（12分）
點評：本題考查矩形的性質以及三角形的相似性質，綜合性較強．