(2009•廣安)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,連接DE、BE,且∠C=∠BED.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若OA=10,AD=16,求AC的長.

【答案】分析:(1)要證AC是⊙O的切線,只要證明OA⊥AC就可以;
(2)根據(jù)△OAF∽△OCA,相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,就可以求出AC的長.
解答:(1)證明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED,
∴∠BAD=∠C.(1分)
∵OC⊥AD于點(diǎn)F,
∴∠BAD+∠AOC=90°.(2分)
∴∠C+∠AOC=90°.
∴∠OAC=90°.
∴OA⊥AC.
∴AC是⊙O的切線.(4分)

(2)解:∵OC⊥AD于點(diǎn)F,
∴AF=AD=8.(5分)
在Rt△OAF中,OF==6,(6分)
∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C,
∴△OAF∽△OCA.(7分)

即OC=.(8分)
在Rt△OAC中,AC=.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了切線的證明方法,以及垂徑定理,三角形相似的性質(zhì).
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(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求此拋物線的解析式;
(3)若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,連接CD,設(shè)BD的長為m,△CDE的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求此拋物線的解析式;
(3)若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,連接CD,設(shè)BD的長為m,△CDE的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求此拋物線的解析式;
(3)若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,連接CD,設(shè)BD的長為m,△CDE的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求此拋物線的解析式;
(3)若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,連接CD,設(shè)BD的長為m,△CDE的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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