Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（-3，2），與x軸相交于點(diǎn)C（-2，0），過(guò)點(diǎn)C畫(huà)CB⊥AC交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)AB得△ABC
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（提示：作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸）
（3）將△ABC沿x軸正方向平移后得到△A′B′C′，點(diǎn)A′、B′恰好落在雙曲線(xiàn)上，求該雙曲線(xiàn)的解析式和平移的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將C坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線(xiàn)解析式；
（2）過(guò)A作AD垂直于x軸，得到一對(duì)角互余，根據(jù)AC與BC垂直，得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)A與C的坐標(biāo)，得到AD=OC，利用ASA得到三角形ACD與三角形BCO全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OB=CD，根據(jù)OD-OC求出CD的長(zhǎng)，確定出OB的長(zhǎng)，即可求出B的坐標(biāo)；
（3）作出直線(xiàn)AA′，BB′，A′D′⊥x軸，B′O′⊥x軸，OO′即為平移的距離，根據(jù)題意設(shè)A′（m，2），B′（m+3，1），反比例解析式為y=

k

x

（k≠0），將A′與B′代入反比例解析式中，求出m與k的值，即可確定出反比例解析式，以及OO′的距離，即為平移的距離．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+3）²+2，
將C（-2，0）代入得：a+2=0，即a=-2，
則拋物線(xiàn)解析式為y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16；

（2）作出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，與x軸交于D點(diǎn)，可得AD⊥x軸，
∵A（-3，2），C（-2，0），
∴AD=OC=2，OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∵CB⊥AC，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCO=∠CAD，
在△ACD和△BCO中，

∠ADC=∠COB=90° AD=CO ∠CAD=∠BCO

，
∴△ACD≌△BCO（ASA），
∴OB=CD=1，
則B（0，1）；

（3）作出直線(xiàn)AA′，BB′，A′D′⊥x軸，B′O′⊥x軸，OO′即為平移的距離，
根據(jù)題意設(shè)A′（m，2），B′（m+3，1），反比例解析式為y=

k

x

（k≠0），
將A′與B′代入得：2m=k，m+3=k，即2m=m+3，
解得：m=3，k=6，
∴反比例解析式為y=

6

x

，A′（3，2），B′（6，1），
∴OO′=6，即平移的距離為6．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是確定反比例解析式的關(guān)鍵．