Question

如圖，二次函數(shù)（m＜4）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（可用含字母m的代數(shù)式表示）；
（2）如果這個(gè)二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，且∠BAC的余弦值為，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由圖形知A、B的縱坐標(biāo)=0，代入二次函數(shù)（m＜4），得到關(guān)于x的方程，求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題；
（2）求二次函數(shù)（m＜4）的解析式，要解決m的值，需求出一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以根據(jù)∠BAC的余弦值為，設(shè)AD=4k，AC=5k，則CD=3k，得到點(diǎn)C（4k-4，3k），又二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，通過(guò)反比例函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入（m＜4），得到二次函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，，（1分）
x²+（m+4）x+4m=0，x₁=-4，x₂=-m．（2分）
∵m＜4，
∴A（-4，0），B（-m，0）（5分）

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，cos∠BAC=，
設(shè)AD=4k，AC=5k，則CD=3k．（6分）
∵OA=4，
∴OD=4k-4，點(diǎn)C（4k-4，3k）．（7分）
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．（8分）
4k²-4k-3=0，（舍去），．（9分）
∴C（2，）．
∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∴m=1，（11分）
∴二次函數(shù)的解析式為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)，代入法求二次函數(shù)的坐標(biāo)及函數(shù)解析式，同時(shí)考查了解一元二次方程．