Question

（2007•廣安）如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3交軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；
（3）連接AC，在軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)-x²+2x+3=0，解得x₁=3、x₂=-1，即點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），根據(jù)拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3交y軸于點(diǎn)C，可知當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以C（0，3）
（2）拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3的點(diǎn)頂為M，根據(jù)頂點(diǎn)公式可知M（1，4），過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S_△BCM=S_{四邊形COBM}-S_△BOC=3
（3）分情況討論，共有4個(gè)點(diǎn)．
（1）以AC為腰：
①當(dāng)以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P₁，p₂（p₁在p₂的右側(cè)）
可知P₁（，0）P₂（-，0），交y軸于一點(diǎn)p₅；②以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P₃，點(diǎn)P₃與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P₃坐標(biāo)為（1，0），交y軸于兩點(diǎn)p₆，p₇，
（2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)p₄垂足為F，利用△AOC∽△AFP₄可求AP₄=5，OP₄=5-1=4，所以P₄（4，0）．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)
∴-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）
又∵拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3交y軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，3）

（2）∵拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)為M
∴x==1
y=
∴M（1，4）
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于E，則ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3
∴S_△BCM=S_△△BOC=3．

（3）存在點(diǎn)P
1）以AC為腰：
①當(dāng)以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P₁，p₂（p₁在p₂的右側(cè)）
AC==，
∴P₁O=，P₂O=
∴P₁（，0）P₂（-，0）
交y軸于p₅與C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，坐標(biāo)為：（0，-3）
②以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P₃
∴點(diǎn)P₃與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P₃坐標(biāo)為（1，0），
交y軸于點(diǎn)p₆，p₇兩點(diǎn)，p₆（0，3-），p₇（0，3+）
2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)p₄垂足為F，則AF=
∵∠AFP₄=∠AOC=90°
∠CAO=∠P₄AF
∴△AOC∽△AFP₄
∴
∴=
∴AP₄=5，
∴OP₄=5-1=4，
∴P₄（4，0）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（，0）P₂（-，0）P₃（1，0），P₄（4，0），p₅（0，-3），p₆（0，-3），p₇（0，3+）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．