Question

（2009•張家界）在平面直角坐標系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C（0，2），過點C作圓的切線交x軸于點D．
（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）設平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線過A，B，C三點，可根據(jù)三點的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）由于CD是圓的切線，設圓心為O′，可連接O′C，在直角三角形O′CD中科根據(jù)射影定理求出OD的長，即可得出D的坐標．
（3）可假設存在這樣的點E、F，設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F(xiàn)兩點的坐標，然后根據(jù)E，F(xiàn)在拋物線上，將E，F(xiàn)的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關(guān)于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F(xiàn)點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F(xiàn)兩點的坐標．
解答：解：（1）令二次函數(shù)y=ax²+bx+c，
則，
∴，
∴過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=-x²-x+2．

（2）以AB為直徑的圓的圓心坐標為O′（-，0），
∴O′C=，
OO′=；
∵CD為⊙O′切線
∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
∴∠CO'O=∠DCO，
∴△O'CO∽△CDO，
∴=，即=，
∴OD=，
∴D坐標為（，0）．

（3）存在，
拋物線對稱軸為x=-，
設滿足條件的圓的半徑為r，則E的坐標為（-+r，|r|）或F（--r，r），
而E點在拋物線y=-x²-x+2上，
∴r=-（-+r）²-（-+r）+2；
∴r₁=-1+，r₂=-1-（舍去）；
故以EF為直徑的圓，恰好與x軸相切，該圓的半徑為．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、切線的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．