如圖(1),直線y=k1x+b與反比例函數(shù)y=
k2
x
的圖象交于A(1,6),B(a,3)兩點(diǎn).
(1)求k1、k2的值;
(2)如圖(1),等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD邊在x軸上,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E,CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)F,當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí),請(qǐng)判斷FC和EF的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖(2),已知點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn).在第(2)問(wèn)的條件下,點(diǎn)P在x軸上,從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)∠PCD=90°時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo)及
四邊形PCQE的面積
三角形DEQ的面積
的值.
分析:(1)先將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式,求出k2的值,得到點(diǎn)B的坐標(biāo),再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=k1x+b,解方程組即可求出k1的值;
(2)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,n),則C(m,3),CE=3,BC=m-2,OD=m+2,利用梯形OBCD的面積是12列出方程,求得m的值,從而求得點(diǎn)F的坐標(biāo),即可得出FC=FE;
(3)先證明△CEP∽△DEC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出P點(diǎn)坐標(biāo);再由點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后由三角形的面積公式分別計(jì)算出三角形DEQ的面積和三角形PCD的面積,則四邊形PCQE的面積=三角形PCD的面積-三角形DEQ的面積,進(jìn)而求出
四邊形PCQE的面積
三角形DEQ的面積
的值.
解答:解:(1)∵A(1,6),B(a,3)在反比例函數(shù)y=
k2
x
的圖象上,
∴k2=1×6=3a,
∴k2=6,a=2,
∴B(2,3).
將A(1,6),B(2,3)代入直線y=k1x+b,
k1+b=6
2k1+b=3
,
解得
k1=-3
b=9
,
則直線的解析式為y=-3x+9.
故所求k1=-3,k2=6;

(2)當(dāng)S梯形OBCD=12時(shí),F(xiàn)C=FE.理由如下:
如圖(1),設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,n).
∵BC∥OD,CE⊥OD,BO=CD,B(2,3),
∴C(m,3),CE=3,BC=m-2,OD=m+2,
∴S梯形OBCD=
BC+OD 
2
×CE,即12=
m-2+m+2
2
×3,
∴m=4,
又∵mn=6,
∴n=
3
2
,即FE=
1
2
CE,
∴FC=FE;

(3)如圖(2),當(dāng)∠PCD=90°時(shí),∠PCE+∠DCE=90°,
∵CE⊥OD于點(diǎn)E,
∴∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠PCE=∠CDE,
又∵∠CEP=∠DEC=90°,
∴△CEP∽△DEC,
∴CE:DE=EP:EC,
∴DE•EP=CE2,
∴2EP=9,
∴EP=
9
2
,
∵E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
1
2
,0).
∵點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn),C(4,3),D(6,0),
∴Q(5,
3
2
),
又∵DE=2,
∴三角形DEQ的面積=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
;
又∵三角形PCD的面積=
1
2
×PD×CE=
1
2
×
13
2
×3=
39
4

∴四邊形PCQE的面積=三角形PCD的面積-三角形DEQ的面積=
39
4
-
3
2
=
33
4
,
四邊形PCQE的面積
三角形DEQ的面積
=
33
4
3
2
=
11
2

故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(-
1
2
,0),
四邊形PCQE的面積
三角形DEQ的面積
=
11
2
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),難度中等,綜合性較強(qiáng),注意反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.利用梯形的面積公式來(lái)求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度,從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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