Question

如圖，正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，點F是邊BC上一點，點G是邊CD上一點，BE=2ED，CF=2BF，連接AE并延長交CD于G，連接AF、EF、FG．給出下列五個結(jié)論：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S_△ABF=S_△FCG；④AF=EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．5個
B．4個
C．3個
D．2個

Answer 1

【答案】分析：①本題需先根據(jù)已知BE=2ED，得出，再根據(jù)AB=CD，即可得出結(jié)果．
②本題需先設(shè)出數(shù)據(jù)，再得出AG、AF等于多少，再求出這兩個角的正切值是多少，及可求出結(jié)果．
③本題需先根據(jù)題意得出S_△ABF與S_△FCG的面積是多少，及可求出結(jié)果．
④本題先根據(jù)在Rt△AEF中，求出EF，AF的值，即可得出結(jié)論．
⑤證出Rt△ABF∽Rt△AOE，即可得到∠AFB=∠AEB．
解答：解：①∵BE=2DE
∴=
∴
∵AB=CD
∴DG=CD
∴DG=CG
故本選項正確
②設(shè)BF=1，則CF=2，AB=AD=3，DG=CG=，
過點E作AB的平行線，交AD于M，交BC于N，
可得四邊形MNCD是矩形，△AME∽ADG，且相似比為，
∵AD=3，
∴AM=2，DM=1，NC=1，
則BN=BC-NC=2，F(xiàn)N=BN-BF=1，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE，
且相似比，
∴ME=1，EN=2，
在Rt△EFN中，
EF==，
在Rt△AME中，
AE==，
在Rt△ABF中，
AF=，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°，
∵AG==
∴EG=，
∴tan∠AGF==，
又tan∠FGC=，
∴∠FGC≠∠AGF，
故本選項錯誤
③∵×

=
∴S_△ABF=S_FCG
故本選項正確
④連接EC，過E點作EH⊥BC，垂足為H，
由②可知AF=，
∵BE=2ED，
∴BH=2HC，EH=CD=2，
又∵CF=2BF，
∴H為FC的中點，F(xiàn)H=1，

∴在Rt△HEF中：
∵EF=
==
AF=
∴AF=EF
故本選項正確．
⑤過A點作AO⊥BD，垂足為O，
∵，
∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．
故本選項正確．
故選B．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，在解題時要注意知識的綜合運用，借助圖形是解題的關(guān)鍵．