Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l與AB邊相交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)∠AOD=α．
（1）當(dāng)α等于多少度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形？并求此時(shí)AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使四邊形EDBC是等腰梯形，題中已有EC∥AB，求出BC=ED，∠EDB=∠B=60°即可；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，直線l⊥AC，可得出BC∥ED，利用角相等求出四邊形EDBC為平行四邊形，再加上一組鄰邊相等，即BC=BD即可．
解答：解：（1）解法一：當(dāng)∠α=30°時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
當(dāng)∠α=30°時(shí)，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線CF，
則BF=BC=1，
∴DB=1+1+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=AD+2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：當(dāng)∠α=30°時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）當(dāng)∠α=90°時(shí)，四邊形EDBC是菱形．
證明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四邊形EDBC是平行四邊形．（5分）
在Rt△ABC中，由（1）中解法一知：AB=4，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=AC=，
∵∠α=∠ACB=90°
∴OD∥BC，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴AD=AB=2
∴BD=4-2=2，
∴BD=BC=2，（7分）
∴平行四邊形EDBC是菱形．（8分）
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握菱形的性質(zhì)及判定，理解等腰梯形的性質(zhì)．