Question

27、如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，M是AB的中點(diǎn)，DM，CM是否分別是∠ADC和∠DCB的平分線？說明理由．

Answer 1

分析：可通過構(gòu)建全等三角形來求解．延長DM交CB延長線于于N，可通過證明△ADM≌△BNM得出DM=MN，AD=BC，根據(jù)AD+BC=CD，可得出CD=CN．那么CM就是等腰三角形CDN底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，CM就是∠BCD的平分線，證CN是∠ADC的平分線，可通過等腰三角形的兩底角相等及兩直線平行，內(nèi)錯角相等來求得．

解答：解：DM，CM分別是∠ADC和∠DCB的平分線．理由如下：
證明：延長DM交CB延長線于于N．
∵AD∥BC，
∴ADM=∠N，
又∵AM=BM，∠AMD=∠NMB，
∴△AMD≌△BMN，
∴DM=MN，AD=BN．
∵CD=AD+BC=BN+BC，
∴CD=CN，
∴∠CDN=∠N=∠ADN，
∴MD是∠ADC的平分線．
∵CD=CN，DM=MN，
∴CM是∠BCD的平分線．

點(diǎn)評：本題主要考查了梯形、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定．通過構(gòu)建全等三角形來求出角和邊相等是解題的關(guān)鍵．