(2013•民勤縣一模)如圖所示,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延長線于D點(diǎn),OC交AB于E點(diǎn).
(1)求∠D的度數(shù);
(2)求證:AC2=AD•CE.
分析:(1)連接OA,由圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對(duì)的弧為同一條弧,根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍,由∠ABC的度數(shù)求出∠AOC的度數(shù),再由OA=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角,由頂角∠AOC的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出底角∠ACO的度數(shù),再由∠BAC及∠ABC的度數(shù),求出∠ACB的度數(shù),由∠ACB-∠ACO求出∠BCE的度數(shù),由OC與AD平行,根據(jù)兩直線平行同位角相等可得∠D=∠BCE,可得出∠D的度數(shù);
(2)由∠ACB的度數(shù),利用鄰補(bǔ)角定義求出∠ACD的度數(shù),再由∠AEC為三角形BEC的外角,利用外角性質(zhì)得到∠AEC=∠ABC+∠BCE,可得出∠AEC的度數(shù),進(jìn)而得到∠AEC=∠ACD,在三角形ACD中,由∠ACD及∠D的度數(shù),求出∠CAD的度數(shù),可得∠CAD=∠ACE,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似可得三角形AEC與三角形DCA相似,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得證.
解答:解:(1)連接OA,如圖所示:

∵圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對(duì)的弧都為
AC

∴∠AOC=2∠ABC,又∠ABC=15°,
∴∠AOC=30°,
又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=
180°-30°
2
=75°,
又∠BAC=45°,∠ABC=15°,
∴∠ACB=120°,
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-75°=45°,
又OC∥AD,
∴∠D=∠OCB=45°;
(2)∵∠ABC=15°,∠OCB=45°,
∴∠AEC=60°,
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°,
∴∠AEC=∠ACD=60°,
∵∠D=45°,∠ACD=60°,
∴∠CAD=75°,又∠OCA=75°,
∴∠CAD=∠OCA=75°,
∴△ACE∽△DAC,
AC
AD
=
CE
AC
,即AC2=AD•CE.
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),以及三角形的內(nèi)角和定理,熟練掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵.
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