如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點A在x軸上,點C在y軸上,將邊BC折疊,使點B落在邊OA的點D處.已知折痕CE=5,且.
【小題1】判斷△OCD與△ADE是否相似?請說明理由;
【小題2】求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo);
【小題3】 是否存在過點D的直線l,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似?如果存在,請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線;如果不存在,請說明理由.
【小題1】與相似.--------------------------------------- 1分
理由如下:
由折疊知,,
,
又,
. 3分
【小題2】,設(shè),則.由勾股定理得.
.--------------- 4分
由(1),得,
,
.------------------------------------------------ 5分
在中,,
,解得.
,點的坐標(biāo)為,
點的坐標(biāo)為,----------------------------------------- 6分
設(shè)直線的解析式為,
解得
,則點的坐標(biāo)為. 8分
【小題3】滿足條件的直線有2條:,.------------- 12分
下圖中的直線DB與直線DM即為所求.
注:第⑶題如何嚴(yán)密思考?靠碰運氣找到兩條直線,顯然不具有一般性,也不能從嚴(yán)格意義上說明是否還存在其他符合要求的直線.下面的思考方法是非常精彩的:
首先說明一個簡單事實:三條直線兩兩相交,不經(jīng)過同一點,則三條直線能夠圍成三角形.當(dāng)平行移動其中一條直線時(移動后的直線不經(jīng)過另兩條直線的交點),不改變圍成三角形的形狀(即始終相似).
基于上述事實,將y軸平移至點D,交直線CE于點Q,直線CE即直線PQ,則原問題轉(zhuǎn)化為:
如下圖,△DQP中,∠D=90°.經(jīng)過點D的直線l,斜邊所在的直線,與兩直角邊分別構(gòu)成的兩個三角形相似,這樣的直線l有幾條?
顯然,當(dāng)直線l經(jīng)過△DQP內(nèi)部時,只有一條;當(dāng)直線在△DQP外部時,也只有一條.
解析
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4 |
3 |
A、1個 | B、2個 | C、3個 | D、4個 |
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