Question

【題目】如圖：拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，4），對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為M，且DM=OC+OD，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)x取多少時(shí)，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OC=4，OD=2，

∴DM=6，

∴點(diǎn)M（2，6），

設(shè)y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣ ，

∴該拋物線解析式為y=﹣ （x﹣2）2+6；

（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，﹣ （x﹣2）2+6），即（x，﹣ x2+2x+4），x＞0，

過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，

則PE=﹣ x2+2x+4，DE=x﹣2，

S= x（﹣ x2+2x+4+4）﹣ ×2×4﹣ （x﹣2）（﹣ x2+2x+4），

即S=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，

∴當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值為8．

【解析】（1）由OC與OD的長，求出MD的長，確定出M坐標(biāo)，設(shè)y=a（x﹣2）2+6，把C坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；（2）由拋物線解析式設(shè)出P坐標(biāo)，過點(diǎn)P做x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，利用表示出的點(diǎn)P的坐標(biāo)確定出線段PE、DE的長，用梯形OCPE的面積減去直角三角形OCD的面積和直角三角形PDE的面積，進(jìn)而得出S與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S最大值時(shí)x的值即可．