如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的頂點(diǎn)A (1,0),對(duì)角線的交點(diǎn)P(
52
,1)
(1)寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若在線段AB上有一點(diǎn) E(3,0),過(guò)E點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分,求直線的解析式;
(3)若過(guò)C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4:3兩部分,并與y軸交于點(diǎn)M,求M點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)由矩形的性質(zhì)結(jié)合頂點(diǎn)A (1,0),對(duì)角線的交點(diǎn)P(
5
2
,1),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C點(diǎn)坐標(biāo),同理求出C和D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)直線解析式為y=kx+b,若過(guò)E點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分,則直線必定過(guò)P點(diǎn),求出k和b的值即可;
(3)首先求出矩形的面積,過(guò)C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4:3兩部分,求出直線與AD或AB的交點(diǎn)坐標(biāo),分別設(shè)出直線的解析式,求出對(duì)應(yīng)的系數(shù),即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,頂點(diǎn)A (1,0),對(duì)角線的交點(diǎn)P(
5
2
,1),
1+xC
2
=
5
2
,yD=2,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2);

(2)設(shè)直線解析式為y=kx+b,
∵過(guò)E點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分,
∴該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(
5
2
,1),
由題意得
5
2
k+b=1
3k+b=0
,
解得k=-2,b=6,
∴直線解析式為y=-2x+6;

(3)由題意知,矩形ABCD的面積為6,如圖1
∵過(guò)C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4:3兩部分,
∴S△CDN=
1
2
DC•DN=
1
2
×3×DN=
3
7
×6,
∴DN=
12
7
,
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,
2
7
),
∴直線經(jīng)過(guò)N點(diǎn)和C點(diǎn),
設(shè)經(jīng)過(guò)AD邊的直線解析式為y=mx+n,
由題意得
4m+n=2
m+n=
2
7
,
解得m=
4
7
,n=-
2
7
,
∴直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-
2
7
);


過(guò)C點(diǎn)的直線l將矩形ABCD的面積分為4:3兩部分,如圖2
∴S△CBN=
1
2
BC•BN=
1
2
×2×BN=
3
7
×6,
解得BN=
18
7
,
∴AN=
3
7
,
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(
10
7
,0),
設(shè)經(jīng)過(guò)AB邊的直線解析式為y=ax+b,
由題意得
4a+b=2
10
7
a+b=0
,
解得a=
7
9
,b=-
10
9

∴直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-
10
9
);
綜上所述M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-
2
7
)或(0,-
10
9
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查一次函數(shù)的綜合題的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及函數(shù)解析式的求法,特別是第(3)小問(wèn)有兩種可能性,此題難度不大,但是?嫉脑囶}.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),BO=5,精英家教網(wǎng)sin∠BOA=
35

求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)cos∠BAO的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)y=
mx
(x>0,m是常數(shù))
的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連結(jié)AD、DC、CB.

1.若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo)

2.求證:DC∥AB

3.四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD 為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連結(jié)AD、DC、CB.

【小題1】若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo)
【小題2】求證:DC∥AB
【小題3】四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD 為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年江蘇省鹽城市大豐市中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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